Géométries Relatives

Un théorème de Pillay [17] affirme que tout groupe différentiellement constructible se plonge dans un groupe algébrique. Chatzidakis et Hrushovski [7] ont obtenu le même résultat pour les groupes constructibles sur un corps de différence. Ces deux exemples nous montrent que des groupes définissables dans des structures enrichies peuvent être analysés à partir de la structure de base. Dans les deux cas précédents, la démonstration consiste à passer de relations dans les corps enrichis à des relations purement algébriques dans une certaine configuration géométrique, dite configuration de groupe. A partir d’une telle configuration on récupère un groupe [9] qui sera ici algébrique. Il s’avère que des propriétés d’un groupe définissable dans une structure dépendent de l’existence de certains types de configurations géométriques. Un pseudo-plan généralise la notion d’incidence entre points et droites existante dans un plan euclidien. Une structure interprétant un pseudo-plan (complet) est 1-ample et cette configuration peut être généralisée pour chaque n : une géométrie n-ample correspond à l’existence d’un pseudo-espace en dimension n, ce qui nous donne toute une hiérarchie de complexité géométrique (hiérarchie stricte comme l’a montrée Evans [8]). Notons qu’un corps algébriquement clos est n-ample pour tout n. Une structure est monobasée si elle n’est pas 1-ample. D’après Hrushovski et Pillay [10] un groupe stable monobasé est abélien-par-fini et possède des propriétés de rigidité remarquables : tout sous-ensemble définissable est une combinaison booléenne de cossettes de sous-groupes définissables (en fait de sous-groupes définissables sur la clôture algébrique du vide ce qui entrâıne qu’il n’y a qu’un nombre borné de sous-groupes définissables). Cette propriété est à la base de la